Fibonacciho posloupnost

a zlatý řez

Matematický princip, historické souvislosti a algoritmická realizace v Pythonu

Fibonacciho posloupnost patří mezi nejznámější číselné řady v matematice a informatice. Její význam přesahuje čistě teoretickou rovinu – objevuje se v biologii, architektuře, umění i moderních algoritmech. Zvláštní pozornost si zaslouží její úzká vazba na zlatý řez, matematickou konstantu dlouhodobě považovanou za symbol harmonie a přirozené rovnováhy. Tento článek poskytuje ucelené vysvětlení Fibonacciho posloupnosti, objasňuje její vztah ke zlatému řezu a prezentuje praktickou implementaci v jazyce Python s didaktickým komentářem vhodným pro výuku algoritmizace.

Fibonacciho posloupnost – definice a základní vlastnosti

Fibonacciho posloupnost je definována rekurzivně:

první dva členy:

F₀ = 0, F₁ = 1

každý další člen vzniká jako součet dvou předchozích:

F_n=F_n−1 + F_n−2

Prvních několik členů posloupnosti má tvar:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Z didaktického hlediska je Fibonacciho posloupnost ideálním nástrojem pro:

vysvětlení rekurze a iterace,

demonstraci rozdílů mezi efektivními a neefektivními algoritmy,

propojení matematiky s reálnými aplikacemi.

Historické souvislosti

Posloupnost je pojmenována po Leonardovi z Pisy (Fibonacci), který ji popsal roku 1202 v díle Liber Abaci. Původně byla použita k řešení úlohy modelující rozmnožování králíků. Přestože samotná posloupnost byla známa již ve starověkých kulturách, Fibonacci ji systematicky zavedl do evropské matematiky.

Zlatý řez – matematická konstanta harmonie

Zlatý řez je definován jako poměr:

$$ \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618033988 $$

Tato konstanta se objevuje:

v proporcích lidského těla,

ve spirálách ulit, slunečnic a šišek,

v architektuře a výtvarném umění.

Z hlediska matematiky je klíčové, že poměr dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel konverguje ke zlatému řezu:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi $$

Tato vlastnost vytváří přirozený most mezi diskrétní číselnou řadou a spojitou geometrickou konstantou.

Fibonacciho spirála a geometrická interpretace

Z Fibonacciho posloupnosti lze odvodit tzv. Fibonacciho spirálu, která vzniká skládáním čtverců o stranách odpovídajících jednotlivým členům posloupnosti. Přestože nejde o přesnou logaritmickou spirálu zlatého řezu, v praxi se jí velmi blíží a má vysokou didaktickou hodnotu při vizualizaci vztahu matematiky a přírody.

Algoritmická realizace Fibonacciho posloupnosti v Pythonu

Iterativní řešení (doporučené pro výuku)


    def fibonacci(n):
        """
        Funkce vrátí seznam prvních n členů Fibonacciho posloupnosti.
        """
        posloupnost = []

        a, b = 0, 1
        for _ in range(n):
            posloupnost.append(a)
            a, b = b, a + b

        return posloupnost


    # Ukázkové použití
    print(fibonacci(10))

Vysvětlení postupu:

Inicializujeme dvě proměnné a a b, které reprezentují dva po sobě jdoucí členy posloupnosti.

V cyklu postupně ukládáme aktuální hodnotu a do seznamu.

Pomocí paralelního přiřazení aktualizujeme hodnoty (a ← b, b ← a + b).

Algoritmus má lineární časovou složitost O(n) a je paměťově efektivní.

Rekurzivní řešení (didaktická ukázka)


    def fibonacci_rekurze(n):
        if n <= 1:
            return n
        return fibonacci_rekurze(n - 1) + fibonacci_rekurze(n - 2)

Tato varianta je vhodná především k demonstraci principu rekurze, nikoli pro praktické použití – její časová složitost je exponenciální.

Význam ve výuce informatiky

V kontextu středoškolské výuky programování Fibonacciho posloupnost:

rozvíjí algoritmické myšlení,

umožňuje přechod od matematického zápisu k programové implementaci,

slouží jako přirozený most k dalším tématům (optimalizace, dynamické programování, vizualizace dat).

Pro projekty lze posloupnost rozšířit o:

grafické znázornění spirály,

porovnání výkonnosti algoritmů,

propojení s uměním a přírodními strukturami.

Fibonacciho posloupnost představuje výjimečný příklad matematického konceptu, který je současně jednoduchý, hluboký a prakticky využitelný. Její vazba na zlatý řez poskytuje jedinečný mezioborový přesah a činí z ní ideální téma pro moderní výuku matematiky a informatiky, zejména v oblasti algoritmizace a programování v Pythonu.